Description
Input
输入文件名为lipschitz.in。 第一行一个整数n。 接下来一行n个整数，描述序列A。 第三行一个数q 。 接下来q行，每行三个整数。其中第一个整数type表示操作的类型。 type=0对应修改操作， type=1对应查询操作。
Output
输出文件名为lipschitz.out。 对于每个查询，给出f(A[l..r]) 。
Sample Input
输入1：690 50 78 0 96 2060 1 351 1 40 1 670 4 110 3 961 3 5输入2：50544 944 200 704 400 150 8 964 666 596 850 608 452 103 988 760 370 723 350 862 856 0 724 544 668 891 575 448 16 613 952 745 990 459 740 960 752 194 335 575 525 12 618 80 618 224 240 600 562 283101 6 61 1 30 11 782790 33 427380 45 672701 1 261 19 241 37 391 8 130 7 64428
Sample Output
输出1：7885输出2：07447768385655877683
Data Constraint
对于30%的数据，n,q<=500 对于60%的数据，n,q<=5000 对于100%的数据，n,q<=100000,0<=ai,val<=10^9
这里有一个结论：f(A)的最大值是相邻的两点的差值。
我们可以设想一下，一个区间被里面min和max分成了三段，其中i=min,j=max，那么设对应的f(A)的值为a,
那么我们可以枚举里面的左端点i右端点j来计算f(A)的值与a比较
首先很肯定的一点 区间[i,j]不能跨过min和max，那么我们会对这三段区间不断细分，到最后也就只剩下相邻的两个点了，此时就是最大值和最小值（这个似乎不能证明）
还有个几何证明：f(A)可以看成一个斜率的绝对值，那么对于坐标上的三个点a,b,c来说，它们三点确定的直线中，很显然横坐标越靠近的两个点斜率会越大
（转自mcw的证明）令$\Delta_i=A_{i+1}-A_i$,则$\left\lceil\frac{|A_j-A_i|}{j-i}\right\rceil=\left\lceil\frac{|\sum_{k=i}^{j-1}\Delta_k|}{j-i}\right\rceil=\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$，显然会有$\Delta_i\,..\,\Delta_{j-1}$中的一项大于等于$\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$
所以这题就变成了维护差值的修改和最值了，线段树就可以了。
1 #include2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7 using namespace std; 8 int maxx[4000000],n,q,a[1000002],x,l,r,d[1000002]; 9 void buildtree(int root,int l,int r){10 if (l==r) {maxx[root]=d[l]; return;}11 int mid=(l+r)>>1;12 buildtree(root<<1,l,mid);13 buildtree(root<<1|1,mid+1,r);14 maxx[root]=max(abs(maxx[root<<1]),abs(maxx[root<<1|1]));15 }16 void change(int root,int l,int r,int x,int c){17 if (l==r){18 maxx[root]+=c;19 return;20 }21 int mid=(l+r)>>1;22 if (x<=mid) change(root<<1,l,mid,x,c);23 if (x>mid) change(root<<1|1,mid+1,r,x,c);24 maxx[root]=max(abs(maxx[root<<1]),abs(maxx[root<<1|1])); 25 }26 int get(int root,int l,int r,int x,int y){27 if ((x<=l)&&(y>=r)) return abs(maxx[root]);28 int ans=0;29 int mid=(l+r)>>1;30 if (x<=mid) ans=max(ans,get(root<<1,l,mid,x,y));31 if (y>mid) ans=max(ans,get(root<<1|1,mid+1,r,x,y));32 return ans;33 }34 int main(){35 freopen("lipschitz.in","r",stdin);36 freopen("lipschitz.out","w",stdout);37 scanf("%d",&n);38 for (int i=1;i<=n;i++){39 scanf("%d",&a[i]);40 d[i]=a[i]-a[i-1];41 }42 buildtree(1,1,n);43 scanf("%d",&q);44 while (q--){45 scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);46 if (x==0) {change(1,1,n,l,r-a[l]);change(1,1,n,l+1,-r+a[l]); a[l]=r;}47 if (x==1) printf("%d\n",get(1,1,n,l+1,r));48 }49 return 0;50 }
数学很重要